С.Кравченко, И.Крылов

УРОВНЕВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

(критика концепции целостности И.З. Цехмистро)

назад в оглавление вперед

Глава 1. Основания математики. Универсум не есть множество.

"2. Континуум проблема"

В данной главе речь идет о значении понятия континуума в философии и математике. «В качестве математического термина в теории множеств и функций это понятие используется для обозначения определенной, а именно большей чем счетной мощности множества (например, мощность множества всех точек на прямой, мощность всех действительных чисел и т.п.). Однако в данной работе это понятие будет рассматриваться в его подлинном смысле и в более употребительном научном значении – как наименование непрерывных образований» (63). Однако далее от этого употребительного значения автор переходит к его философскому значению, которое определяет через пару понятий противоположных друг другу и связанных между собой: непрерывность и точечность.

Как мы уже говорили, основным недостатками построения философских мировоззренческих схем являются необоснованность и произвольность введения понятий без опоры на понимание содержание процедуры выделения определяемого свойства как конкретного свойства. В место этого предлагается игра понятиями, которые в свое время выполняли функции посредников между частной наукой, (когда она еще была в зачаточном состоянии, или в периоды кризисов, когда требовались образные схемы решения не решенных ее средствами, но поставленных ею вопросов), и интуицией, в каком качестве они используются и по сей день.

Так утверждения автора о сущности проблемы континуума и выяснения его физического смысла не имеют под собой ничего более основательного, чем его интуитивная уверенность в том, что понятия точечности и непрерывности более подходят к его определению. По этой причине нами было признано поверхностным определение соответствующего свойства (основанности) через понятие целого или единого. Но и соотношение точечного и непрерывного не может рассматриваться в качестве дублера, этого же определения, то есть определения мира как неделимого целого, или единого. Еще раз повторим, что речь должна идти не о всеобщем свойстве, а об образах реальности, отраженных в данных абстракциях, и о следствиях, оказываемых на формирование научной картины мира.

Выводы, которые делает И. З. Цехмистро, не столько доказывают его правоту, сколько обнажают недостаточность его позиции. Постараемся показать, что тем же фактам можно дать несколько иную, но лишенную недостатков (в том числе и методологического характера), интерпретацию.

a) Головоломки Зенона Элейского.

 Всем известные апории Зенона, о которых идет речь в этой главе, являются по-сути мысленными экспериментами по проверке некоторых глобальных утверждений. Например, таково рассуждение: «Если сущее множественно, то оно одновременно должно быть большим и малым, и притом большим до безграничности, и малым до исчезновения». В общем уже в этой цитате, приведенной в книге, заложен смысл всего того, о чем далее пойдет речь: невозможность наблюдения существования мира, как бесконечно сложной системы, если он будет бесконечно делим или объединяем на множества, или на системы все более и более мелкие или крупные. Во всех случаях такой мир просто не может существовать (по крайней мере, так следует из данного логического рассуждения).

По этой причине любой бесконечно дробимый континуум или растянутый на всю бесконечность при таком представлении о мире одинаково не являем уже по причине неразличимости элементов как с тождественно нулевыми инвариантами, так и трансфинитными инвариантами. Значит, оба этих утверждения не верны, как не верен и смысл бесконечной структурности образов наблюдаемого мира. Однако есть зримое опровержения невозможности мира не быть, не существовать – это факт его существования, причем такого, которое вполне до определенного предела представляется в виде элементов, систем и их множеств. Вот главный парадокс, который математическими средствами, и в этом не будем возражать автору, возможно и не разрешим. Однако разрешить его можно, используя теоретические методологические подходы к проверке научной ценности аксиом и следствий.

Цехмистро предлагает расширить смысл понятия целого, тогда как наше понимание решения этой задачи сводится к определению данного свойства через дополнительные понятия, типа события (носители) - уровень. Определением с нашей точки зрения данного свойства, обеспечивающего, с одной стороны, возможность разделения мира на множества, а с другой стороны не бесконечную делимость его образов, является описание его действия как способности всех объектов иметь некое основание наличествовать, быть выявленными, то есть иметь хотя бы потенциально доступные к регистрации параметры, в пределах которых только и могут иметь смысл утверждения о наличествовании и различении, взаимодействии и отношениях составляющих образ уровня объектов.

Утверждение о наличествовании есть утверждение о свойствах, что есть утверждение о выделяемости от прочего, то есть о системе исчисления, что есть утверждение о структуре. Это уже разбиралось в Главе 1.

Одного утверждения, что объект исследования наличествует, достаточно для формирования более общего утверждения - о структурности среды, в которой он по каким-то признакам выделен. Из этого следует, что все остальное наделено признаком, дополнительным к объектному, то есть сама среда структурирована, и как целое она, если и может быть представлена, то только по другим признакам, сугубо внешним по отношению к ней, что, опять же, по принципу дополнительности и структурированности, требует наличия других сред. Чисто математический факт существования минимальной системы исчисления (и теоретического минимального квантового объекта) лишает смысла понятие ЦЕЛОГО в духе Цехмистро.

Однако, данная апория Зенона имеет и более глубокий смысл. Он заключен в том, что следует различать сущее и наблюдаемое. Сущее «множественно, то оно одновременно должно быть большим и малым, и притом большим до безграничности, и малым до исчезновения», что означает, что продекларированные крайности должны быть заведомо неразличимы, «большие до безграничности» неразличимы по признаку неразличимости трансфинитных чисел, «малые до исчезновения» неразличимы по признаку неразличимости  значений от нуля. Таким образом, утверждение наличествования есть утверждение о ненулевых конечных значениях регистрируемых характеристик, что по умолчанию означает существования кванта действия и, главное, невозможность бесконечно глубокого различения структуры, что, однако, не означает не существования этого, более глубокого структурного деления, или, наоборот, структурного объединения.

Таким образом «фундаментальный философский вопрос» наличествования на деле сужается до тривиальной возможности наблюдения и выяснения условий, при которых бесконечно сложная структура оказывается доступной к наблюдению, как «единое и неделимое целое». Потому и следует отличать: понятие делимости – это одно, а понятие различимости – это другое.

 Уровень – это своего рода философский образ такого математического понятия, чья заданность гарантирует конечную структурную разложимость, конечную структурную сложность, то есть конечность числа свойств любого его подмножества, следствием чего является их потенциальная познаваемость и сама возможность наличествования, возможность регистрации, возможность существования Науки. Именно наличие такого «горизонта» размерности (мерности) и делает неделимость возможной, при сохранении общей множественности и неограниченности мира. Именно эта модель и была интуитивно предложена Кантором, только без учета понятия уровневого сечения и правила не взаимодействия объектов разных алефов по причине взаимной структурной дополнительности свойств.

На примере рассуждений И.З. Цехмистро, можно показать, что именно такую гипотезу можно рассматривать как актуальную для решения данной проблемы, а не ту, которую предлагает он в качестве таковой. Рассмотрим для начала четыре головоломки философа Зенона.

Первая апория называется «Дихотомия».

«Пусть имеется геометрический отрезок (А,В) и движущееся тело переходит из точки А в точку В. В силу принятой гипотезы о непрерывности движущееся тело, прежде чем достичь точки В, должно побывать в точке С, делящей отрезок АВ пополам, но еще раньше в точке С', делящей пополам половину отрезка АВ, т.е. отрезок АС, но еще раньше в точке С'', делящей пополам половину половины исходного отрезка, и т. д. Возникает ряд 1/2 + ¼ + 1/8 +… Этот ряд является сходящимся и стремится к 1 как своему пределу. Античные математики и Зенон вместе с ними еще не знали этого.

 Дело, однако,  в том, что представление о сходимости этого ряда вовсе не снимает трудности, на которую указывает Зенон. Проблема состоит в следующем: раз мы приняли идею непрерывности пространства, движущееся тело каким-то образом оказывается способным перебрать за конечное время актуально возникающую здесь бесконечную совокупность актуально существующих элементов такого ряда, пусть и закономерно убывающих в своей величине и сходящихся к конечному пределу. Принятие гипотезы непрерывности пространства рождает актуально бесконечную совокупность половинных отрезков каждой новой половины, возникающих в бесконечном делении (дихотомии) отрезка АВ, так что движущееся тело, занятое бесконечным перебором возникающих здесь отрезков, не может преодолеть и наималейшее расстояние и, строго говоря, не может начать движение. Отсюда и знаменитый вывод: движения нет. Аналогичный смысл несет и вторая апория «Ахиллес и черепаха»» (66). Как пишет Цехмистро, невозможность догнать черепаху, раскладывая пройденные ею расстояние на составляющие, связана с допущением бесконечной делимости, то есть, «необходимо отказаться от представления о бесконечной делимости (непрерывности) пространства и времени». Это автоматически следует рассматривать как предположение о существовании "первоэлементов".

Можно особо и не возражать, осознавая, что сами понятия пространства и времени и все производные от них - суть образы, абстракции, формируемые на основании анализа любого, заведомо конечного при потенциальной регистрации поля событий, «единых и не делимых» (см. выше) на доступном к наблюдению уровне с наблюдаемым квантом действия. Однако не согласимся с тем, что из этих апорий следует сделать вывод о существовании «атомарных» элементов, о пределе делимости самой всего мира, поскольку этому противоречит факт событийного различения, который изначально противоположен предположению о возможной бесструктурности, где бы то ни было и в какой бы то ни было форме. Как нам кажется, уровневый принцип снимает это противоречие, задавая определенную логическую основу представления о мире как структурном единстве, без необходимости введения принципа бесконечной делимости или его образования из неделимых "первоэлементов", даже если это только ОДИН элемент, или целое.

Апория «Стадион».

«Пусть в момент старта все три колонны  покоятся, причем каждый спортсмен как бы помещен в соответствующую ему неделимую ячейку пространственной протяженности. Графически это можно изобразить так:

– – – – – – – – – –

– – – – – – – – – –

– – – – – – – – – –

Теперь Зенон предлагает рассмотреть следующую ситуацию. Пусть средняя колонна покоится, а две крайние (на рисунке верхняя и нижняя) начинают одновременное движение в противоположных направлениях. С позиций принятой концепции неделимых это означает, что верхняя и нижняя колонны за одно временное неделимое смещаются по отношению к средней неподвижной колонне на одно пространственное неделимое:

– – – – – – – – – –

   – – – – – – – – – –

      – – – – – – – – – –

Однако, продолжает Зенон, посмотрим теперь на взаимное движение верхней и нижней колонн по отношению друг к другу. Оказывается, за одно временное неделимое они вместятся друг по отношению к другу на два пространственных неделимых. Значит, неделимое разделится! (неделимое разделится самим фактом смещения по его истечению на два пространственных неделимых). Но это противоречит выводу из первых двух апорий о существовании неделимых!» (68).

Цехмистро противопоставляет этот вывод выводу о неделимости. То есть наличие такой противоречивости логически полученных выводов как бы доказывает относительность понятий много и единого, а так же относительность их противоположности, так как ни разделить континуум на неделимые, ни представить его как состоящий из бесконечно делимых – невозможно. По мнению Цехмистро у мира, как очевидности, противоположной мысленным экспериментам Зенона, есть такая граница, существование которой доказывает, что мир далее этой границы просто неразложим, и именно это делает его разложимым до этой границы.

Он, однако, не замечает, что неразложимость мира не снимает проблемы определения причины его существования, не снимает проблему его «целостности», но ставит очень для него не удобную в мировоззренческом плане проблему «первокирпича». В данном случае вопрос можно перефразировать: почему существует единое, хотя бы, более узко, - как оно наблюдаемо? 

Вводя нижнюю границу делимости, то есть «первокирпич», Цехмистро, для логической непротиворечивости идеи, был обязан ввести еще и единство этого целого сверху, причем с обоснованием: почему и как единство сверху и неделимость снизу сочетаются с промежуточной структурностью?! Тем самым мы снова встанем перед проблемой определения того, что мы посчитали определенным. То есть нам осталась не ясна суть единства, способности быть единым, не говоря об ее наблюдательных признаках, и смысл такого устройства мира, когда это метафизическое единство признается за некую объективную данность, которая определяет весь расклад сил в мировом процессе. Иначе откуда оно (единство) возникает и почему оно имеет место быть?

Признание наличия некой абстрактной целостности, пусть даже включающей и мир объектов, делает такое утверждение эквивалентным определениям субстанции, как основы мира. Причем такая основа, мыслится как не требующая обоснования, как внерациональная, как абсолютная сущность. Но любая абсолютная сущность создает проблему обоснования смысла познания, так как если признать эту сущность включающей в себя весь объектный мир, являющейся им, то тогда ее познание как только познание именно самой сущности, становится бессмысленным, в силу уже обладания этой сущностью всем знанием о самой себе непосредственно. А если признать эту сущность отдельной от мира, то познание не должно было бы давать истинного знания, так как таковое могло соответствовать только самой абсолютной сущности, а получаемое нами о мире, который не являлся бы ею по определению, было бы не истинным. Но это абсолютно противоречит всей истории научного познания и общественной практики – мир познаваем и знание объективно, то есть может быть использовано и соответствует основанным на нем прогнозам.

Однако есть еще и чисто практический момент: абсолютное целое принципиально нельзя обнаружить, поскольку его невозможно никаким образом выделить, и уж только поэтому мир не есть целое. То есть желанного ответа на вопрос: что есть неделимое единое целое? – мы опять не получаем, поскольку рационального ответа в данном понятийном поле нет. Поэтому мы вынуждены довольствоваться принятием на веру нелепицы существования некой особой сущности (субстанции), которая и обладает некими творящими, взаимоисключающими в своем определении, свойствами.

С другой стороны, если признать, что все, с чем мы связываем действие абсолютной целостности есть не что иное, как свойство отношений самих наблюдаемых объектов, то тогда следует признать, что данное свойство принадлежит именно данному миру и может быть определено и выделено как вполне конкретная закономерность.  

Следовательно, свойство целостности не может отождествляться с понятием внешнего (и вообще какого бы то ни было) Творца. Значит, данное автором определение этого закона не является достаточным и требуется другое, способное рационально объяснить возможность мира наличествовать, каковую мы и наблюдаем, имея дело с конкретными объектами, с конкретными отношениями, которые не являются ни бесконечно делимыми, ни едиными, как целое. Наш вывод – мир не целое, не система. Иначе возникают противоречия не менее неразрешимые, чем те, что привел Зенон.

Возвращаясь к смыслу апории с колоннами, мы, исходя из понятия уровневости, можем отметить, что данный парадокс может иметь место, только если не существуют понятие кванта действия, понятие события. Именно только в случае отсутствия квантовых структурных проявлений, доказывает эта апория, мир вообще невозможно описать как «состоящий из», так как иначе всегда потребуется еще более мелкое звено внутри «неделимого» пространственного интервала, что позволит разделить и временной отрезок. Но из этой апории можно извлечь и другой, не менее глубокий смысл. Он заключен в том, что понятие кванта действия применительно к понятию события входит в противоречие с понятием «движения» события в самом общем понимании движения, как любого изменения. Апория и доказывает, что в пространстве событий нет и не может быть событий как некого абсолютного движения.

Но это еще не все. Рассмотрим четвертую апорию, которая имеет общее следствие с третьей.

«Рассмотрим движение летящей стрелы с точки зрения принятой дискретной структуры пространства, состоящего из неделимых. Летящая стрела, будучи выпущенной из лука, конечно, летит в пространстве нашего повседневного опыта, но летит ли она по отношению к элементарному отрезку пространственного неделимого?  Если да, то тогда самим фактом своего движения в пределах неделимого летящая стрела разделит его (на ней всегда можно нанести метку и при движении стрелы разные положения метки в пределах неделимого пространственного отрезка разделят его). Но это вновь  противоречит принятой концепции неделимых. Чтобы сохранить верность концепции неделимых, остается признать, что летящая стрела покоится в каждом  из неделимых. Но тогда как возможно вообще движение? Ведь сумма моментов покоя  (в каждом из неделимых) ничего не даст, кроме покоя (для всего пространства в целом): подобно тому, как сумма нулей ничего не дает, кроме нуля»( 69).

И здесь мы видим то же допущение о «движении» неделимых, но при этом неделимость понимается Цехмистро-Зеноном вне реальной структурной делимости материи, так как сама стрела оказывается по условию задачи, вне континуума этих неделимых, и тем самым ее неделимые могут делить неделимые отрезка. То есть, хотя опять говорится о неделимости последних элементов, но подразумевается обратное: бесконечно делимый и множественный континуум. Ведь иначе, когда бы речь шла не о условно, наблюдательно, а «истинно» неделимых, эти неделимые вообще невозможно было бы отличить друг от друга по причине отсутствия по определению дробной различимости, и апорий не возникало бы. Так «истинно точечные события» – не выделяемы уже хотя бы потому, что неразличимы между собой, выделяемы только множества с ненулевыми конечными и различными инвариантами. Другими словами факт наличествования Мира подразумевает факт существования квантов действия, условности «неделимости» и различности «единых и неделимых» событий между собой. По этой же причине, понятие события как точки – есть пустое понятие.

Невозможно согласиться с точкой зрения Цехмистро, что эта апория «демонстрирует противоречивость концепции неделимых», ведь по сути данный мысленный эксперимент нарушает условия задачи: существования последних неделимых элементов, так как по умолчанию предполагается, что есть такой объект, например, стрела, которая, принадлежа этому множеству, на самом деле не является принадлежащей данному множеству. По условиям же мысленного эксперимента она не должна состоять из таких элементов (точек), которые бы были мельче последних неделимых, и, следовательно, она не могла бы ни одной своей точкой пройти расстояние меньшее неделимой части отрезка. А это уже геометрия. Нет такой возможности, находясь на уровне неделимых, различить его неделимый элемент. Таким образом Мир Цехмистро, мир «истинно единых и неделимых» принципиально не регистрируем, значит, не может существовать.

Доказательством выше сказанного может послужить анализ тех проблем, которые вставали перед математиками в процессе формирования фундамента математической теории.

b) Три взгляда на континуум

Как было видно из предыдущих рассуждений, из всех трех выделяемых автором концепций континуума:

континуум, интегрируемый из неделимых;

континуум, интегрируемый из бесконечно делимых;

континуум, как неделимое целое;

Ему ближе концепция континуума как неделимого целого. Недостатки ее уже были показаны, но это были чисто умозрительные доказательства. Думается, умозрительных доказательств было мало и математикам, так как они, судя по анализу, предложенному в книге ставили перед собой схожую задачу определения сущности континуума, как задачу мировоззренческую, правда решаемую чисто в рамках математического понятийного аппарата. А это, естественно, наложило особый  отпечаток на варианты определения континуума, как множества и как целого. Две другие точки зрения на концепцию континуума Цехмистро рассматривает как недостаточные, в силу их односторонности, не раскрывающей, по его мнению, действительную диалектику единого и множественного. Но, думается, что в свете положений уровневого принципа организации мира, и его целостное понимание уже не может считаться удовлетворительным и достаточным. Поэтому представления о континууме, «интегрируемом из бесконечно делимых частей», или континууме, «интегрируемом из неделимых», не играют вспомогательной роли для раскрытия его понимания, как целого, неделимого, а выражают существенные следствия  из определяемого нами фундаментального свойства уровневости: неограниченность, тотальность универсума, а так же, его, объективно формируемую соответствующими физическими параметрами, основанность.

Определение основы, даже расширенно представленное через понятие целого, не может до конца объяснить саму возможность целого быть целым, и при этом сохранять объективно множественную природу. Более того, именно понимание единой качественно и количественно множественной бесконечности мира, являющееся выражением его тотальности, где ни одна сущность, ни один объект фактически не может быть поставлен в особое по отношению к другим положение, обнаруживает несоответствие понимания единого, как целого, этой реальной наблюдаемой и имеющей некое (заданное) объективное основание множественности.

В случае рассмотрения мира как целого, вообще нет никакого отличия его как некоего монолитного единства и от образа мира, представляемого в виде бесконечного числа множеств тождественных первоэлементов, и от мира состоящего из произвольных бесконечно делимых образований, так как во всех трех случаях мир не может быть признанными существующим силу невыделяемости его структуры, а потому и принципиальной нерегистрируемости. Декларирование мира как целого в любом виде равно его отсутствию, не существованию.

Оба «единых и целостных» решения приводят к выводу, что такая целостность и как неделимая, так и тождественно множественная, и такое представление о смысле понятия континуума не может считаться исчерпывающим и адекватным.

В качестве такого решения, не содержащего указанных недостатков, может рассматриваться определение содержания понятий носители  и уровень (или события и среда), и построенная на их основе уровневая схема организации мира, где вместо одного уровня (целого) предполагается множественность подобных в своем пространственно-временном континууме уровней, не являющихся ни моносистемами, ни неделимыми единицами или первоэлементами, и где само понятие неделимости или даже целостности имеет совершенно иной, более конкретный и рациональный смысл.

Важным фактором, обеспечивающим  существование уровней, будет являться наличие некого признака мощности, задающего процессуальные границы уровней, отделяющие их друг от друга, с учетом которого и реализуется весь комплекс присущих объектам данного уровня свойств в виде наличия структурных множеств объектов. Это необходимо подразумевает существование минимального образа объекта данного уровня, а так же максимального, что следует из факта наличия событий, тех различных «первокирпичей», обладающих физической для данного уровня взаимодействий неделимостью и конечным (но достаточным для образования образа слоя отношений объектов, чего и не может как раз объяснить концепция целостности) набором изначально присущих им нетождественных свойств. То есть речь идет в противоположность концепции целостности не о неделимости как таковой, а об объективном пределе физической делимости для конкретного уровня в силу заданности его физики определенным параметром действия, о наблюдательной различимости.  

"е) Континуум-проблема в теории множеств"

В этой главе представлена история формирования современного представления о континууме в математической теории.

От понимания континуума как непрерывности, в которой можно лишь фиксировать отдельные точки, но в которой не обнаруживается никакой «составности», в ходе создания теории множеств Кантора, был совершен переход к идее составности континуума, «где каждой точке геометрического континуума соответствует определенное вещественное число» (74).

«На основании этой чисто множественной концепции континуума (множеству точек геометрического отрезка соответствует множество вещественных чисел соответствующего интервала) Кантор высказал свою знаменитую континуум-гипотезу: мощность множества точек (или соответствующих им вещественных чисел) на отрезке является первой за счетной, т.е. вполне определенной на алефической шкале, образованной мощностями трансфинитных классов чисел» (там же). Множество точек стало отождествляться с некой единой реальностью "которая находится на алефической шкале там, где она есть" (Н.Н. Лузин).

Одновременно с возникновением такой концепции стали возникать и сомнения в ее верности, что выразилось в наличие попыток, как ее опровержения, так и ее обоснования. Однако вывод был парадоксальным. Данная проблема доказательства непрерывности и множественности континуума оказалась неразрешимой.

"d) Неразрешимость континуум-гипотезы"

Цехмистро выделяет два этапа доказательства континуум-гипотезы. «Первый шаг был сделан Кантором. … Ему удалось сформулировать теорему о том, что если бесконечные линейные множества, т.е. множества действительных чисел, разбить на классы не эквивалентных друг другу множеств, то число этих множеств будет не только конечным, но и равным двум. Другими словами, он высказал мысль, что не существует счетных множеств действительных чисел, эквивалентных множеству всех действительных чисел. Именно эта мысль дала возможность четко сформулировать гипотезу континуума: мощность континуума есть первая несчетная мощность, т.е. С = алеф первое, здесь С – мощность континуума» (76). 

Нам приятно, что Кантор, того не подозревая, подтвердил философскую концепцию дополнительности, соответствующей математическому факту существования минимальной системы исчисления, ставящей жирный крест на идее единства.

Кантор, по мнению Цехмистро, считал, что «множество натуральных чисел вполне упорядочено, а множество вещественных чисел лишь упорядочено. Больше того, по своему построению все числовые классы оказываются вполне упорядоченными, а числовая прямая является лишь упорядоченным множеством. Проблема континуума сводилась к сравнению первого числового класса (т.е. множества действительных чисел, соответствующих всем точкам прямой) и созданного Кантором второго числового класса – множества всех порядковых чисел, обозначающих различные типы упорядочения счетного множества натуральных чисел».

Целью Кантора было доказать, что «если возможно осуществить … взаимно-однозначное, сохраняющее  порядок, отображение первого трансфинитного числового класса на числовую прямую (или на какое-либо ее подмножество), то проблема континуума будет полностью решена» (77). Первым трансфинитным числовым классом Кантор считал алеф первое. Однако «Кантору не удалось найти взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами» (77).

Следующий этап доказательства континуум-гипотезы связан с аксиоматизацией теории множеств. «Существенную роль в системе аксиом Цермело играет так называемая аксиома выбора, состоящая в следующем: если имеется бесконечное множество бесконечных множеств, то из каждого множества можно выбрать по одному элементу и образовать из них новое множество (множество представителей). Опираясь на эту аксиому Цермело доказал, что всякое множество может быть вполне упорядочено, а это означает, что мощность континуума есть алеф. Однако из результатов Цермело ничего нельзя было сказать о месте, занимаемом мощностью континуума на шкале алефов» ( 79).

В дальнейшем Т. Сколем  было доказано, что «несчетное множество можно так интерпретировать, что получится счетное множество» (там же). А это значит что «понятие мощности множества не является абсолютным, а зависит от той аксиоматики, в которой рассматривается данное множество… Таким образом, если в теории множеств стать на аксиоматическую точку зрения, то необходимо признать, что проблема континуума может иметь смысл только по отношению к какой–либо конкретной аксиоматической теории» (80).

В последствие было обнаружено, что континуум-гипотеза вообще не независима и не необходима. «Таким образом, добавив к аксиомам теории множеств как континуум-гипотезу, так и противоположное ей утверждение, мы никогда не придем к логическому противоречию» (81).

В данной главе нет развернутых авторских комментариев, но последнее предложение отмечает независимость гипотезы континуума (как множества, бесконечно делимого на элементы и множества). Такая аксиома ничего не добавляет и не убавляет при ее отсутствии в процессе формирования аксиоматических теорий и моделей, где нормировка множеств возникает только как следствие аксиом. Данная же независимая аксиома не является для этого необходимой, а если смотреть на это глазами философа, то не является и математической. Но она обнаруживает такую особенность мира, как его "основанность", выражающуюся в наличие аксиоматической множественности и счетности мира, тогда как сам континуум, каковым он представлен в теории Кантора, такую счетность не обеспечивает, в силу своей бесконечной делимости на элементы и их множества.

Собственно говоря, эти выводы ни сколько не являются неожиданными для Цехмистро, так как это чисто логическое следствия соответствующего философского эксперимента, который впервые был поставлен еще Зеноном Элейским. После этого по логике автора остается только признать эту гипотезу ложной. Но, предлагаемая в авторской трактовке способность мира существовать, как обладание им свойством целостности, то есть способностью быть неделимой единицей, не вполне, по-нашему мнению, совпадает реальным содержанием данного свойства, которое оказалось невозможно выделить математически, то есть включить в аксиоматику математической теории. Но это не значит, что в самой физической реальности это свойство невозможно выделить и описать адекватно. Более того, само утверждение, что «несчетное множество можно так интерпретировать, что получится счетное множество», служит прекрасным математическим подтверждением уровневой интерпретации, когда бесконечно сложную структуру, интерпретируемую в бесконечный ряд нижних уровней, по некоторому признаку мы обозначаем как «единое и неделимое» событие.

"е) П. Коэн: континуум-гипотеза очевидно ложна. Континуум как целое"

«Итак, кратко изложенная здесь история развития представлений о континууме, и в особенности тот, в высшей степени своеобразный результат, который достигнут в рамках математической науки в отношении поставленной Г. Кантором континуум-гипотезы, ясно указывают на то, что для понимания смысла достигнутого ее решения, необходимо обращение к философскому языку, в частности – категориям множественного и единого (как неразложимого на множества целого)".

(Хотелось бы сделать маленькое отступление по поводу обращения к философскому языку. Философский язык –  это язык понятий и категорий. Но что такое есть понятия и категории, что есть то содержание, которое они отражают? Нам, в свете понимания невозможности существования каких-либо всеобщих свойств, некой субстанции, представляется, что философия, являясь методологией познания, в силу недостаточности научного знания в процессе его формирования, накапливала в себе и образные решения тех вопросов, которые еще не были поставлены наукой, или не были ею решены в тот или иной исторический момент. В последствие по мере самоопределения философии и выделения из философии научных дисциплин, чисто философское содержание ограничилось в основном одним вопросом – объяснением причин существования мира. Поэтому на наш взгляд, все категории в той или иной мере расширяют наше представление об этом свойстве, которое, однако, будучи не определено рационально, обросло множеством образных его описаний, отражающих те или иные частные особенности его проявления. Поэтому с определением данного свойства, следует предположить, закончится и процесс самоопределении науки и отпочкования от философии частной проблематики, и сохранится только ее подлинное содержание как методологии научного познания и квинтэссенции ее развития в образе мировоззрения. Поэтому обращение к категориям философии на определенном этапе продуктивно, но ограничено по предоставляемым возможностям, так как не может дать в принципе замены тому определению свойства, которое в этом определении нуждается. Все категории философии в той или иной мере раскрывают суть действия искомого свойства, но нужда в них отпадает, как только данное свойство получает  рациональную интерпретацию, связанную с включением его в качестве фундаментального свойства в конкретную научную теорию.

"Применительно к проблеме строения континуума этот результат показывает, что континуум не может состоять из определенной, хотя бы и большей счетной совокупности непротяженных элементов-точек, ибо мощность континуума на алефической шкале может совпадать как с первым алефом, так и со вторым, и, по-видимому, любым алефом. Значит место континуума на шкале алефов не определено, можно говорить о свободном перемещении мощности континуума с алеф-один на алеф-два и при этом не будет противоречия с основными аксиомами теории множеств.

Но отсюда следует, что если, даже с точки зрения любой из существующих в настоящее время аксиоматических систем теории множеств, утверждение о мощности континуума носит характер свободного предложения и его никак нельзя получить в качестве необходимого, то тем более иллюзорной является претендовавшая на окончательную истину концепция Кантора о чисто множественной природе континуума и его исчерпывающем представлении множеством элементов определенной трансфинитной мощности в рамках наивной теории множеств» (81-82).

Далее автор далее пишет о том, что в процессе построения аксиоматической теории множеств математики пришли к выводу  о неисчерпаемости континуума множествами точек. То есть, говоря другими словами, им не удалось обнаружить способа формирования счетности бесконечного континуума средствами множественного подхода. Как говорит  Коэн: «С этой точки зрения С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой аксиомой и к которой нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постоянного процесса построения» ( 85).

Однако не стоит спешить провозглашать замысел Кантора недостигнутым. Пусть он и имел не вполне математическую подоплеку (о чем пишет и И.З. Цехмистро, относя решение данной проблемы к области философского познания), но, те решения, которые были предложены, вышли за рамки его теории множеств, и даже сейчас объективно не оценены по достоинству. Поэтому их никоим образом нельзя списывать со счетов даже на основании того, что главная цель не была достигнута, а главная идея оказалась ложной. Философский смысл лестницы алефов - более значимое достижение, чем свидетельства неуспешности попыток обосновать предложенную им теорию множеств в рамках математического аппарата.

Континуум оказался действительно более богатым (в мировоззренческом плане) понятием, чем множество точек бесконечной мощности. В одном месте после цитаты из статьи Коэна Цехмистро, правда, задает тот  самый неудобный для философа вопрос, на который до сих пор не получено ответа, даже и в концепции целостности, а именно: «…было бы интересно знать, удастся ли когда-нибудь сформулировать в рамках математики такую аксиому, которая бы позволяла устанавливать единственность мощности континуума как множества, остающегося в то же время заведомо недоступным для тех методов, с помощью которых Кантор построил за-бесконечный мир бесконечных алефов»(86). Сам он настроен скептически и такую возможность отрицает. Математически невозможность такой аксиомы подтверждена и доказана (нет абсолютной системы отсчета), а вот как следствие физической теории такое решение возможно, и нечто похожее на его дает уровневая концепция.

Уровни – это и есть своего рода алефы, чье существование задано не предыдущими алефами, а общими и независимыми причинами по отношению к любому из них. Сами уровни – понятия условные, потому не ограниченные в своем множественном континууме, что с учетом системы исчисления свойств их объектов (а, точнее, лоренц-инвариантной среды, как их образа, в которой можно предположить наличие различных фазовых состояний и где объекты будут являться локальностями этих фаз), делает эти уровни заданным (алефом), а каждый из уровней – взаимно дополнительным по отношению к другим, но это же делает и абсолютно бессмысленным понятие их мощности. Именно такой континуум и соответствует той философской модели мира, которая наиболее адекватно отражает имеющиеся свойства наблюдаемых физических объектов. И при том не претендует на звание теории всего, или теории Алефа-Творца.

Отрицание всякой множественности как следствие факта «невозможности исчерпывающего и однозначного описания континуума как множества»  не ведет  на самом деле «к признанию в нем свойств нетривиальной целостности» (87), а указывает только на недостаток конкретно данного его определения. Поэтому преувеличение значимости эмпирического факта действия данного свойства, и ограничение описания философского его содержания описанием именно самого факта языком неадекватных понятий (единое, целое) переводит сущностное решение проблемы в туманную область неясных смыслов и интуитивных догадок или, что более честно, в область шумового описания. Это составляет истинную суть именно гегелевской диалектики и системы понятий, к которой так неосмотрительно обращается автор при всяком случае затруднений в определении рационального смысла данной закономерности. Поэтому не станем цитировать те ничего не значащие доказательства в духе материалистической диалектики, которыми так славилась партийная философия.

Для нас очевидно, что весь содержательный аспект вопроса сводится к понятию целого, как образа неделимости, и утверждению на основании этого их смыслового единства. Но такой смысл не позволяет построить даже простейшей непротиворечивой схемы организации универсума, кроме как постулатов о рождении его из ничего, или существовании особой целостной субстанции с особыми целостными свойствами, как неделимой, единой основы всего. А это тоже не плохо нам знакомо из учебников по философии, как определение, например материи в материализме, или Бога, или Абсолютного Духа, или Идеи в идеалистических философских теориях. Этот ли ответ мы хотели получить, и этот ли ответ мы могли получить, имея на руках такие аргументы и факты?!

"f) Теорема Геделя о неполноте формальных система и континуум-проблема"

Первыми в списке сформулированных Гильбертом в докладе на II Математическом конгрессе математиков проблем стояли проблема континуума и проблема доказательства непротиворечивости аксиом арифметики. Связь этих проблем, на которую указывает Цехмистро, состоит в том, что «доказательство непротиворечивости аксиом арифметики вещественных чисел равносильно доказательству математического существования понятий вещественного числа или континуума. (Под математическим существованием объекта Гильберт понимал отсутствие противоречия в его определении)» (88).

Отсутствие противоречия понималось Гильбертом таким образом: «…понятие вещественных чисел, т.е. континуума, представляет собой, при вышеизложенной точке зрения, не просто совокупность всех возможных десятичных разложений или совокупность всех возможных законов, по которым могут следовать элементы какого–либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для которых справедливы все те и только те положения, которые могут быть получены из этих аксиом конечным числом логических умозаключений… Тогда и понятие континуума, а также понятие системы всех функций, существует точно в таком же смысле, как и система целых рациональных чисел или как канторовы классы и мощности высших порядков» (89).

Однако вопрос непротиворечивости несколько выходит за рамки математики и ее задач. Это именно гносеологическая проблема. Непротиворечивость теории формируется на основании соответствия выводов из ее аксиом и не противоречия этих выводов самим аксиомам. Дело в том, что, имея определенные представления о мире, обобщенные в законах, или аксиомах, можно представить основные следствия действия этого свойства. В математике эти выводы носят абстрактный характер, и проверяются именно на непротиворечивость по чисто формальным признакам. Но, процесс получения знания не является именно логическим, системным. Познание есть описание соответствующих образов, отражающих свойства мира. Эти свойства могут быть различными по общности, и потому различными же и по формализму. Теоретическим этот процесс становится на стадии формирования системы выводов из полученного обобщения. Но нет таких способов поменять местами логику построения теории и диалектику познания. Не может, исходя из следствий и путем проверки на непротиворечивость, выводится сама аксиома. И тут, как нам кажется, нет необходимости приводит реальные примеры, так как попросту мы не найдем ни одного здравомыслящего теоретика, который бы выводил аксиомы из их следствий. 

Поэтому и оказалось, что даже чисто на гносеологическом уровне обнаруживается предел формализации системы аксиом, который сводится к тому, что аксиомы не могут быть выводимы друг из друга. То есть, должна существовать хотя бы одна аксиома, которая из этой системы не выводима. В этом заключается смысл первой теоремы Геделя.

Согласно же второй его теореме, «непротиворечивость арифметики не может быть доказана средствами, формализуемыми в ней, т.е. именно финитными средствами. Для доказательства непротиворечивости арифметики натуральных чисел оказывается необходимым обращение к таким посылкам, которые выходят за рамки рассматриваемой системы и относятся к некоторой более богатой системе. При этом является существенным предположение, что эта более богатая система, из которой черпаются посылки для проведения доказательства непротиворечивости данной формально системы, сама является непротиворечивой. Таким образом, доказательство непротиворечивости достаточно богатой формальной системы может иметь лишь относительный смысл: данная формальна система непротиворечива, если непротиворечива остающаяся неформализованной некоторая  более богатая система, из которой берутся посылки для проведения доказательства непротиворечивости  рассматриваемой формальной системы» (91).

Можно согласится с выводом Цехмистро что «эта строго установленная и совершенно неизбежная познавательная ситуация в области оснований точных наук есть только следствие того, более общего эпистемологического факта, согласно которому драма человеческого познания неразрывно сопряжена с внутренней диалектической природой его существования» (92). Но дальнейшее изложение понимания этой драмы имеет существенные изъяны.

Так, он далее пишет: «Ведь если даже непротиворечивость формальной арифметики натуральных чисел может быть доказана лишь на основе более мощной арифметической системы, то тем более в любой последующей, расширенной арифметической системе, такой, например, как система вещественных чисел, является неизбежным  элемент свободного допущения. Это, несомненно, должно было повлечь за собой неизбежную относительность непротиворечивости такого достаточно сложного утверждения, как высказывание о мощности континуума» (92).

Автор смешивает здесь разные смыслы: содержательный и гносеологический.

Дело в том, что теория не может быть признана непротиворечивой, исходя из собственных аксиом не потому, что придется привлекать не достаточно обоснованные утверждения, а потому, что законы формальной логики не есть законы познания, а только законы использования знания. Поэтому в основании теории всегда, по совсем другой причине, чем просто недоказуемость континуум-гипотезы, будет находится некоторое, недоказуемое средствами данной теории, утверждение. Это просто технически невозможно, так как сначала свойство выделяется, а потом описывается как утверждение или аксиома, или как эмпирические обобщения (но все равно обобщения, а не непосредственно полученное знание), а уж потом на его основе формируется весь каркас следствий, то есть теория, построенная на формальных логических принципах непротиворечивости высказываний и выводов.

Это гносеологический смысл.

Но у самого феномена познавательной способности человека есть и онтологическое, философское обоснование, обоснование в рамках следствий физической (геометрической) теории, как одно из ее следствий: наблюдаемый мир познаваем потому, что его структура не бесконечно множественна и сложна, то есть имеет предел структурной разложимости, что и позволяет представить ее в виде повторяющихся множеств конечной структурной сложности, без всякой необходимости их неограниченного деления или прибавления.

Есть прямая связь между наличием неразрешимого предложения и ограниченностью мира по уровням структурной организации. Эта связь свойства уровневой организации мира (его Лоренц-инвариантности) и его следствий (возможности познания только благодаря наличию структурной определенности объектов уровня).

Так, например, в цитируемой статье П. Коэна есть такие слова: «Наша привычка к теореме о неполноте не должна мешать нам постоянно видеть эту фундаментальную недостаточность всех формальных систем, которая имеет гораздо более далеко идущие последствия, чем независимость частных утверждений вроде гипотезы континуума. Именно это лежит в основании моего пессимистического мнения о том, что любое техническое достижение и в будущем не прольет света на основные философские проблемы» (93). Однако Цехмистро прав (что и было нами показано предыдущими рассуждениями), что «эти проблемы выходят за рамки математического языка и нуждаются в обсуждении с помощью существенно более богатых категорий». Исходя же из нашей точки зрения о сущности философии как общенаучной теории, эта задача должна решаться именно средствами научной методологии, и опорой на конкретные определения фундаментальных свойств физической реальности, что позволяет строить на этом основании интересующие нас следствия.

"g) Статус иррационального числа"

В данной части речь идет о связи континуум-гипотезы и иррационального числа. «Очень важно то обстоятельство, что исторически иррациональные числа были введены именно для того, чтобы отразить непрерывность прямой, и, таким образом, они с самого начала имеют самое непосредственное отношение к структуре континуума – его непрерывности» (94). По мнению Цехмистро, «критическим для всей чисто множественной концепции континуума является вопрос о том, существуют ли актуально эти «остальные точки прямой», отвечающие иррациональным числам?» (95)

«Их существование является чистым предположением в том смысле, что эти точки реально не даны, а задаются бесконечным процессом, который, однако, никогда не бывает завершенным. И в то же время (в отличие от рациональных точек) нет никакого другого способа убедиться в реальном существовании предела этого процесса» (96). Даже если представить иррациональные числа «в виде сходящихся последовательностей рациональных приближений к нему, взятых с недостатком и с избытком», то «какими бы длинными мы не взяли эти последовательности, между их членами всегда будет оставаться неразделенной соответствующая единица: десятая, сотая, тысячная, миллиардная и т.д.»(96).

Однако, как нам кажется, Цехмистро делает не совсем правильный вывод из этого факта: «иррациональное число непосредственно и явно выражает неделимость континуума в конечном счете, его неисчерпаемость в чисто (и только) множественном представлении» (там же).

Думается данное заявление не совсем логично. Есть существенная разница между самим иррациональным числом и необходимостью его задания. Строго говоря, процесс задания любого числа является бесконечным. Любое число, к примеру, «0», можно задать с числом значащих цифр, большей любого, сколь угодно большого, наперед заданного, значения числа значащих цифр после запятой «0,000….», более того любое число можно задавать неопределенным множеством математических операций над другими числами. Другими словами, понятие числа и понятие задания числа в какой-то системе исчисления – существенно различные понятия.

Если считать иррациональные бесконечные ряды математическим процессом приближений, через операции над натуральными числами, объективно соответствующими некоторому континууму данного значения (данной точки, именно, как только точки), даже исключая представление о континууме как о бесконечно множественном, то и в этом случае речь идет лишь о его обозначении через операции над рациональными числами, и не может идти о рациональном объяснении существования этого самого значения (самой точки). Ведь если число (точка на прямой в данной системе координат) имеет бесконечное цифровое выражение в виде отношений рациональных чисел, это не равнозначно его отсутствию. Невозможность зафиксировать ее именно как рациональное отношение над цифрами системы исчисления, приблизиться к ней путем любого конечного числа этих приближений, что заведомо невозможно, исходя из определения иррационального числа, не означает его не существование. Сам факт, что простой сменой точки начала отсчета или единичного репера мы можем получить, что одна и та же точка, имевшая координату иррационального числа, получает координату с рациональным числовым выражением, говорит о полном равноправии этих чисел и вся разница оказывается заключенной только в способах их представления (вычисления). Однако, математики давно нашли выход из этой ситуации. В конечном счете, такое иррациональное число, к примеру, √2, обозначается конечным числом значащих цифр с добавлением знака операции над ним, что полностью соответствует определению обозначения числа.

Надо помнить, что любой реальный физический объект в нашем сознании есть только образ, а не суть, и потому, в силу конечности набора образов «системы исчисления» самого сознания, объект всегда предстает перед нами только в виде определенных приближений, набора стандартов-образов, как в математике, в сочетании с набором операций над ними. Так и процесс задания любого числа является множеством континуума в силу существования неограниченного множества математических операций над рядом системы исчисления, каждый из которых тоже есть задание числа.

Значимость статуса иррационального числа неявно нами подчеркнута еще в самом начале статьи: «фундаментальный факт явления сущности как трансфинитного множества различимых событий позволяет сформировать утверждение о существовании по крайней мере двух событий, различие свойств которых заведомо меньше любого, сколь угодно малого, наперед заданного числа». Что это, как не полная вещественная аналогия определения иррационального числа? Эта вещественная аналогия позволяет скорей определять рациональные числа, как частные случаи чисел иррациональных.

Целостность, о которой говорит автор, объективно неисчерпаема, как и бесконечный континуум, и, следовательно, тем самым ставиться под сомнение вообще возможность существования мира в виде объектов. Но если такая причина множественности, как способность мира быть целым, не может объяснить его существование в качестве мира, то по тем же причинам она не имеет смысла и для каждой отдельно взятой точки. То есть точки не смогут существовать как точки, или точечные объекты, поскольку будут столь же неисчерпаемы. В этом смысле так понимаемая целостность, как невозможность деления точки на множества, не объясняет, почему континуум определяется через множество рациональных чисел, а мир существует как мир событий.

В уровневой же концепции понятие «события» служит олицетворением и понятия «целого единого и неделимого», и вещественной аналогией определения иррационального числа, основанием для утверждения о существовании единого для всего уровня кванта действия, и основанием для утверждения о множественности уровней.

В этой связи характерно рассуждение Пуанкаре о математической непрерывности, которое пересказывает Цехмистро: «Однако не этому, – указывал он, - соответствует обычное понятие о ней – понятие, в котором полагается между элементами непрерывного род внутренней связи, составляющий из них целое, где не точка предваряет существование линии, но линия (!) предваряет существование точки» (98). В нашем понимании это очень близкое осознание смысла понятия уровня как такой "целостности", с которой мы только и можем  иметь дело как с реальным миром объектов, а именно уровня отношений структурно далее неразложимых начальных событий (не "первокирпичей"), отношениями которых и образован весь видимый  нами мир.

Возвращаясь к эпистемологическому смыслу континуум-гипотезы, автор сравнивает ее с аксиомой геометрии о параллельности прямых, в рамках которой можно создать несколько геометрий, являющихся постулированием той или иной формулировки о параллельных. Но «однако континуум-гипотеза содержит более глубокую проблему, чем постулат о параллельности в геометрии… Это свидетельствует об абсолютной неразрешимости континуум-гипотезы, даже в смысле невозможности доказать средствами теории множеств ее независимость от основных аксиом теории множеств» (99). Однако и это утверждение основано на некотором методологическом упущении в осмыслении сущности данной проблемы. Дело в том, что данная проблема и не могла быть решена этими средствами, так как сама проблема имеет физическую природу, то есть ни каким образом не может входить, даже в качестве недоказуемого, свободного положения, в частную математическую теорию. Данная теория не ставит перед собой задачи поиска ответа на всеобщие вопросы, что и было продемонстрировано на примере теории Кантора, когда предложенная им схема, основанная на предугадываемом свойстве реальности, не была осмыслена как физическая, и была тем самым рассмотрена только как чисто математическая модель, хотя именно эту роль она и не могла выполнять.

Поэтому особость данной проблемы и невозможность ни положительного, ни отрицательного ее решения в математической теории вызвано не ее уникальностью и неординарностью, а вызвано только узостью чисто математического подхода к ее решению, узостью образа по сравнению с оригиналом, узостью абстракции по сравнению с реальностью. Можно привести десятки фундаментальных законов, которые так же не могут быть ни опровергнуты, ни доказаны средствами математики. Все дело в том, что данная задача должна проверяться именно в той теории, где все условия задачи являются частью этой теории. Поскольку свойство основанности мира является регистрируемым, то его обоснование может быть реально выполнено только на том материале, для которого оно является таковым, то есть на научном материале физической науки. Поэтому и нет разных моделей континуума в математике (наподобие разных геометрий). Это не есть задача математики.

назад в начало вперед