УРОВНЕВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

(критика концепции целостности И.З. Цехмистро)

назад в оглавление вперед

Глава 1. Основания математики. Универсум не есть множество.

"Часть 1. Парадоксы теории множеств и их эпистемологический смысл."

В данной главе автор рассматривает проблему философских оснований математики. Одной из главных сложностей является, с его точки зрения, наличие парадоксов в предложенной Кантором теории множеств. Следует разобраться, в чем заключается смысл этих парадоксов, и попытаться дать им возможную собственную интерпретацию, исходя из некоторых дополненных и методологически обоснованных представлений о сущности закона, отвечающего за возможность существования мира как мира (как целого, единого, неделимого на множества – у Цехмистро).

Изложим вкратце авторскую точку зрения.

Автор пишет о двух видах единства. Первое дескриптивное. Суть его сводится к доминированию множественности над единством элементов во множестве. То есть, множество здесь выступает как «якобы единственная и исчерпывающая собой ее всеобщая определенность, и единство устанавливается (или прослеживается) лишь на следующем этапе – в результате просто обобщения свойств элементов исследуемой совокупности» (50). Такое единство, где множество превалирует над единством и служит основанием обнаружения этого единства, воспринимается автором как неполное, неспособное в этом определении отражать существенное свойство этого мира: быть неделимым на множества, выступать неделимой единицей.

Однако, здесь есть элемент логической подтасовки даже при отвлечении от традиционного научного определения понятия множества, включающего в себя и такие понятия, как пустое множество или множество из одного элемента. Логика автора внутренне противоречива. Чтобы сформировать некое множество как «единственную и исчерпывающую собой всеобщую определенность» надо изначально задать критерий этого формирования, то есть обозначить то самое обобщающее свойство, которое автор собирается затем выделить «в результате просто обобщения свойств элементов исследуемой совокупности», пусть даже это обобщающее свойство будет и предельно общим, хотя бы, чтобы это были «элементы». Если же взять изначально просто некий набор случайностей, или вообще ничего не брать (пустое множество), то заведомо нет никаких оснований считать этот набор множеством в авторском понимании, хотя и то, и другое есть множества в классическом понимании.

Другой вид единства автором определяется следующим образом: «…оказывается необходимым выделить еще один логический аспект содержания категории единое – единое как полное и всестороннее отрицание всякой множественности. Единое как такое, которое ни в каком смысле не является многим, но в то же время обуславливает и делает возможным само существование многого (как равно и наоборот: многое ведет к единому, выступающему отрицанием множественности, и делает возможным его). Очевидно, единое здесь предстает как такая определенность, точнее свойство, которое фиксирует объективную общность данной множественности, позволяющую ему по некоторым аспектам быть представленным единым целым. Имея в виду это отрицание понятия множества (и состояния множественности) в таком высшем проявлении единства, мы будем обозначать его как целое, целое как не-многое (не множество)» (51) (в авторском понимании). Этот аспект автор считает ключевым.

Если внимательно прочитать процитированные строки, то невозможно не заметить, что понятие единого не адекватно реальному содержанию данного проявления в мире, что смысл, вкладываемый в него, не соотносится с представлением простого неделимого целого. Но, однако, сами понятия в связке «единое неделимое целое» достаточно точно описывают действие этого загадочного свойства (точнее одного из его признаков).

Судите сами, если мы возьмем любое множество, как конкретный объект в виде системы, и будем его раскладывать на элементы, то мы придем именно к выводу о неделимости мира, о том, что его невозможно разделить «до конца». То есть, мы сначала имеем дело с множествами, характеризующими физический объект как некую систему, а в конце мы приходим к выводу, что разделить объект до основания не удастся (квант действия). А это и есть описание действия этого свойства применительно к любому объекту. Более того, если будем осуществлять обратную операцию, то есть объединять реальные физические множества, находя в них все более общие признаки, то рано или поздно мы представим окружающую нас действительности в образе, содержащем не менее двух сверхмножеств, имеющих признаки, только дополнительные друг к другу, по крайней мере, одно данное исследуемое множество и все остальное.

Если уж быть до конца последовательным, то следует признать неудачными оба определения единства. Такой признак, как структурность, безразлично, понимаемый ли как целостность, то есть как не наблюдаемость структуры, или понимаемый как множественность, то есть как ее выявление, имеет, в любом случае, следственный характер по отношению к условиям наблюдения, а допущение о глобальном единстве есть автоматически утверждение о невозможности выделения по этому признаку, его принципиальной не наблюдаемости, значит, о не существовании.

Так что вопрос за малым, что мы на самом деле хотим, или заниматься наукой, то есть исследовать действительность, хотя бы потенциально доступную к регистрации, или увлечься фантомами, образами частного сознания, принципиально не имеющими подтверждения в реальности. В любом случае данное свойство должны характеризовать такие понятия, которые с одной стороны должны быть известны по нашей практике, так как само свойство видимо интуитивно нами выделяется давно (Творец), а с другой стороны, должны быть уникальны по своему языковому выражению.

Однако и в авторской трактовке уже есть все та же взаимно дополнительная структуризация: Творец – Творение. Конечно, можно не применять понятия с уже «запятнанной репутацией» или уже обремененные другим, более им соответствующим содержанием, и исторически закрепленным за ними, а искать новые уникальные понятия, не имеющие других функций, но одновременно наиболее точно соответствующие проявлениям этого свойства, его главным признакам: началу и концу действия данного свойства (формулу). Это – авторская проблема. Но, принципиальным философским выводом является утверждение о невозможности формирования логически непротиворечивого понятия ЦЕЛОГО, как его понимает автор. Возможным является только формирование структурно дополнительной системы понятий.

После сказанного можно перейти и к разбору идей Кантора, и парадоксов его теории множеств, которая в своем роде является единственной достойной внимания философской попыткой на математическом языке решить важнейшую мировоззренческую задачу.

Главными понятиями в теории множеств, помимо самой множественности, являются понятия кардинального числа (алеф) и понятие порядкового числа. Кардинальное число «характеризует множество с точки зрения запаса (или богатства) его элементов и называется так же мощностью множества. Но для характеристики множества как конкретного множества и когда оно является бесконечным требуется «отделение кардинального числа от порядкового (или трансфинитного) числа» (52). Это делается двумя способами:

1, 2, 3, …

2, 3, …, 1.

«Обобщение порядкового числа для бесконечного множества дает трансфинитное число. Для обозначения … бесконечного множества натуральных чисел вводится число ∞, тогда второй порядковый тип будет обозначаться ∞ + 1 и т. д. При этом показано, что, хотя 1+∞= ∞, но ∞+1≠ ∞». Можно создать неограниченное число трансфинитных чисел, но, «хотя это числа разные и каждое из них характеризует различный тип упорядочения, однако все они относятся к одному и тому же бесконечному множеству, обладающему одной и той же, в данном случае счетной мощностью, и в этом отношении характеризуемому одни и тем же кардинальным числом – алефом с индексом 0: …» (там же).

Существуют три способа построения чисел как утверждает автор. Первый «тождественен обычному способу получения нового числа за счет математической операции, например, прибавления к данному числу его же…».

Второй соответствует прибавлению предельного числа множества к конкретной последовательности.

«Очевидно, что переход от конечных чисел к трансфинитным, оказывается возможным как раз благодаря применению второго принципа порождения трансфинитных чисел. Однако, последующее развертывание трансфинитных порядковых чисел в результате попеременного обращения то к 1-му, то ко 2-му принципу порождения чисел дает неограниченно развертывающуюся совокупность трансфинитных чисел 1-го числового класса: ∞, …, ∞+n,… ∞+ ∞ (т. е. 2 ∞)., … ∞ * ∞ (т.е. ∞²), … ∞^∞ (в степени), ∞ (в степени)∞(в степени) ∞… . Тут Кантор сталкивается с необходимостью как-то завершить этот процесс с тем, что бы получить первый класс трансфинитных порядковых чисел в завершенном виде, как этого требует исходная идея актуально бесконечных множеств. … В виду этого обстоятельства к двум названным принципам … оказывается необходимым добавить третий принцип, названный Кантором «принципом стеснения» или «принципом ограничения», сущность которого состоит во введении какого-то «завершения» для строительства порядковых трансфинитных чисел 1-го числового класса. А именно, Кантор предположил, что этот «процесс построения трансфинитных чисел с помощью первых дух принципов считается завершенным, если он привел к образованию совокупности чисел, мощность которой отлична от предыдущей, то есть от (алеф нулевое). … Таким образом, вся совокупность трансфинитных порядковых чисел, каждое из которых является обозначением определенного типа упорядочения счетного множества, имеет как бы своим пределом некоторое новое трансфинитное число Ω, которое будучи больше любого из чисел 1-го класса трансфинитных чисел, уже не принадлежит к ряду этих чисел и в тоже время самим своим существованием как бы задает актуальное существование всей их совокупности. При этом Кантор показал, что вся совокупность чисел 1-го класса трансфинитных порядковых чисел неперечислима с помощью счетного множества и обладает мощностью большей счетной.

Как было показано, понятие алефа было введено Кантором для обозначения мощности различных бесконечных множеств. Так, мощность самого «маленького» из бесконечных множеств – счетного множества – было обозначена через (алеф нулевое). Мощность следующего за ним (по богатству элементов) множества трансфинитных порядковых чисел обозначена через (алеф первое). При этом было показано, что алеф первое возникает как результат возведения двойки в степень, обозначающую предшествующую мощность: алеф первое = 2 в степени алеф нулевое. То есть иными словами алеф нулевое возникает как мощность множества всех частей счетного множества. Применение этой операции к каждому вновь возникающему числу ведет к образованию так называемой шкалы или лестницы алефов: (от алеф нулевого до алеф энного). Существует теорема Кантора, согласно которой мощность множества всех частей некоторого множества мощности n равна 2 в степени n. …Алефов которые бы занимали промежуточное положение между «ступеньками» иерархии бесконечностей, по Кантору, просто не существует, как не существует и последнего «высшего» алефа» ( 53, 54).

Столь подробное цитирование потребовалось для того, чтобы сравнить предлагаемую автором интерпретацию теории Кантора с той, которая, по нашему мнению, более соответствует как задаче поставленной Кантором, так и самому варианту решения.

В целом задача не является чисто математической. Из такой лестницы алефов и множеств им соответствующих, как актуальным бесконечным множествам, но выделенным друг относительно друга, никаких математических следствий быть не может, так как для решения конкретных задач такая схема не применима, о чем свидетельствуют и перечисленные далее парадоксы. Это, по своей сути, задача физики, но решаемая математическим языком.

Кантора видимо интересовала возможность описать мир как множество, но с учетом его бесконечности и единства структурных форм, что изначально содержит в себе неустранимое логическое противоречие. В своем решении он и предложил такую схему, которая вышла за рамки математической теории. Однако она имела в этом своем качестве существенный изъян, с чем и была связана ее критика.

Дело в том, что его шкала алефов подразумевала наличие множества всех множеств как некоторого конечного и конкретного множества, то есть по сути, бесконечного и неизмеримого, и по этим причинам – реально не существующего.

Но, с другой стороны, если приглядеться к шкале алефов, то можно увидеть, что эти алефы в какой-то мере соответствуют уровням, ограниченным собственной размерностью единицы кванта действия, которая актуализирует их множественность и структурность. Именно как схема, (исключая идею множества всех множеств = бесконечную делимость) эта шкала и дает наглядное представление о том, как возможно существование множественного мира при сохранении его бесконечного разнообразия и делимости, но сохраняющего при этом черты именно мира, а, с другой стороны, отражающая его возможность быть, существовать, быть регистрируемым без необходимости введения начального или конечного состояния, или дограничной сущности, или же множества всех множеств. Не требует такая схема и введения понятия творца и его синонима – единого, неделимого на множества целого.

Если бы не математическая форма решения, то само решение могло бы претендовать на первое рациональное объяснение возможности построения мира "из самого себя"!

Но, какое же объяснение дает этой схеме И.З. Цехмистро? Он указывает на парадоксы этой теории как теории множеств, с позиции содержания понятия целого, а именно представления о мире как о неделимой на множества единице.

Во всех парадоксах автор видит действие именно этого закона, в такой его трактовке, то есть и он отмечает нематематическую сущность оного. Но он не может дать адекватную оценку парадоксам, как логичным доказательствам верности предложенной им самим схемы.

Попробуем доказать, что дело обстоит именно таким образом. Думается, что Кантор не вполне осознавал значение своей схемы. Поэтому он сам стал обнаруживать те парадоксы, которые являются главной причиной критики его теории множеств со стороны математического сообщества.

Первый парадокс – парадокс Бурали-Форти. «Этот парадокс возникает при рассмотрении множества всех ординальных (или порядковых) чисел. Любое множество таких чисел, расположенных в возрастающем порядке, представляет собой вполне упорядоченное множество и, следовательно, само характеризуется некоторым ординальным числом. Рассмотрим теперь множество всех ординальных чисел, расположенных в возрастающем порядке, то есть взятое в качестве вполне упорядоченного. Согласно определению, это множество как множество всех ординальных чисел должно включать в себя все возможные порядковые числа, а, с другой стороны, само существование этого множества всех порядковых чисел как вполне упорядоченного ведет к появлению нового порядкового числа, характеризующего его тип упорядочения , причем такого, которое не входит в это множество. Но тогда оно не является множеством всех порядковых чисел! Иными словами, если взять множество всех порядковых чисел, как вполне упорядоченное, обозначить его порядковое (ординальное) число через Р и включить теперь само это ординальное число Р в множество всех порядковых чисел, то обнаруживается, что порядковое число, характеризующее это множество всех порядковых чисел, должно быть большим Р, а именно (Р + 1). То есть, оно оказывается новым и отличным от всех ранее собранных в одном множестве порядковых чисел. По условию это число должно входить во множество всех порядковых числе, и в это же время оно там не оказывается. Если же мы его включим во множество всех порядковых чисел, то вслед за этим возникает новый порядковый тип для расширенного таким образом множества порядковых чисел. Таким образом, конструкция множества всех порядковых чисел оказывается внутренне противоречивой и логически нереализуемой»(56). Таков и вывод самого Цехмистро.

Наше же заключение состоит в том, что предварительно необходимо было «решить» совершенно обратную задачу: выявить последовательность для формирования числового ряда наименьшей мощности. При всей кажущейся и поверхностной сверхпростоте и сверхочевидности решения - только «1», это-то «решение» не верно, и все развитие современного логико-математического аппарата показало это, фундаментальный философский принцип дополнительности имеет глубочайшие корни. Верным является решение с одним из двух обозначений: «+1;-1», «0;1», построить же систему исчисления (что, то же самое – структурную систему) на одном элементе невозможно, как невозможно построить ее на бесконечно делимой основе. Собственно, Цехмистро и «попался» на кажущейся сверхочевидности.

Потому (говоря нашей терминологией) любой, условно исходный, «нулевой», уровень не может быть «единым и неделимым», тогда он не существует, не выявляем. Его минимально возможная структура: событие – не событие. Если принять сам этот уровень как исходное бесконечное множество (сделать его предыдущим, основанием следующего уровня), то необходимо должен возникнуть следующий уровень, в котором, по крайней мере, одно событие будет отлично от другого по некоторому признаку, поскольку будет включать в себя неразличимое на этом следующем уровне структурное различие исходного множества (уровня). То есть данный парадокс показывает необходимость существования «предыдущего» уровня, как единственно возможного основания для объяснения свойств различия своих «неделимых» элементов. То есть разница будет заключаться в неком признаке «мощности» элементов уровня, что и должно быть отражено в наличии вариаций событийных параметров уровней. И, в данном случае, внутри самого уровня не имеет значения какой-то особый, внешний, физический смысл этих отличий. Все отличия наличествуют изначально внешне, как свойство уровневой структурности мира, и не могут быть связаны с формой проявления этого свойства среди объектов конкретного уровня. Это фундаментальное свойство мира. Но это только часть доказательства нашей точки зрения.

Есть и еще один важный парадокс: Парадокс Кантора. «Рассмотрим множество всех множеств, обозначив его через М. Мощность такого множества должна быть больше мощности любого множества, так как по условию это множество образовано всеми возможными множествами, какие только могут быть. Но если есть такое универсальное множество (множество всех множеств), то существует и множество всех подмножеств данного множества. А оно согласно теореме Кантора относительно мощности исходного множества всех подмножеств любого данного множества, должно обладать мощностью большей мощности исходного множества, А именно теорема Кантора гласит, что мощность С множеств всех подмножеств любого множества мощности n больше n и равна 2 в степени n: С>n и С = 2 в степени n.

Следовательно, множество всех множеств оказывается также внутренне противоречивой конструкцией, ибо оно, с одной стороны, должно обладать максимальной мощностью, а с другой – как только допустим возможность его существования, - само это допущение сразу же и автоматически ведет к появлению множества еще большей мощности, а именно: множества всех подмножеств данного множества. Ситуация оказывается неразрешимой» (57).

При данном понятийном наборе это, несомненно, так. Но, если подойти к ней как к теории свойства уровневости, дополнительности, основанности мира, то парадокс, если не разрешается, то трактуется как следствие закона дополнительности (в образе Лоренц-инвариантности среды): никакую среду невозможно объединить ни по какому признаку менее чем в два сверхмножества. А это уже ведет непосредственно к пониманию мира как основанного, но чья основа не единственна (что требовало бы опять ее разложения на подмножества и вело бы к тем же парадоксам теории Кантора о множестве всех подмножеств), а есть бесконечное число (трансфинитное множество) чередующихся, отличных по определенному внешнему изначальному признаку, уровней. Каждый уровень – это своя сумма (даже, не система, в силу квантованности, заданности данного сечения сущности) отношений образов элементарных объектов, которая составляет событийное поле присущей им физической реальности. Любой уровень по отношению к «ниже» или «выше» стоящему будет, хотя и целым, в смысле определенности кванта действия и не наблюдаемости, характеристически дополнительным к нему, но это же делает абсолютно необходимым наличие такой уровневой «иерархии», как множества множеств, то есть всего Мира.

Именно нарушение правила признаковой различимости объектов разных уровней и приводит к такому парадоксу. И по той же причине мы не можем наблюдать таких взаимодействий, и они лишены для нас физического и практического смысла. Но наличие трансфинитного числа уровней есть лишь следствие существования для нас хотя бы одного из них. Так как в ином случае непротиворечивой схемы объясняющей возможность существования наблюдаемого мира не получится. О чем свидетельствует вся поучительная история отношений между философией и наукой.

Есть в истории этого вопроса, что затронуто в данной главе, и чисто логический парадокс, отнесение которого к теории множеств носит скорее характер некого логического казуса, чем демонстрирует реальное противоречие теории Кантора. Это парадокс объединения во множество объектов, которые не являются множеством, тогда по мнению Рассела и Цермело возникает парадокс: «Существуют множества, которые являются собственными элементами. Например, множество идей само может выражать некоторую идею и поэтому представляет собой собственный элемент. Но есть такие множества, которые не выступают как собственные элементы, например, множество книг в шкафу. Если теперь поставить вопрос о множестве всех множеств, не являющихся собственными элементами, то обнаружится, что такое множество существует лишь постольку, поскольку оно входит в себя как свой собственный элемент (без чего оно не было бы множеством всех множеств, не являющихся собственными элементами). Но в таком случае это множество не было бы множеством всех множеств, не являющихся собственными элементами, так как оно, оказывается, не удовлетворяющим этому условию!» ( 57)

По нашему мнению этот парадокс чисто логический. Дело в том, что в нем отражена ошибка суждения содержащего в самом своем действии по высказыванию суждения отрицание его смысла. Тогда действительно брадобрей, бреющий только тех, кто не может в данной деревне бриться самостоятельно не должен брить себя, но тогда он становиться не способным бриться, и, тем самым попадает под число тех, кто должен быть побрит. Этот парадокс известный под названием «парадокс Лжеца», не имеет отношения к проявлению и описанию всеобщего свойства уровневости-целостности.

Однако автор делает не совсем верный вывод о природе этого парадокса. Он считает, что данный парадокс целиком относится к области множественного восприятия мира: «Всеобщее, поскольку оно всеобщее, например, такая модель его, как множество всех множеств, по природе своей не может обладать какой-либо определенностью, вносимой в него извне, так как в этом случае оно не было бы всеобщим (в этом случае нужно было бы допустить нечто, существующее вне его, что служило бы внешним источником его определенности). Это обстоятельство находит проявление в существенной для любых моделей всеобщего необходимости определить его через него же самого, что и ведет к парадоксам» (60).

Главным в этой связи является то, что автор не понимает смысла процедуры определения того или иного общего или частного свойства. Логические операции приводят к структурному упорядочению образов событий и определенному, прогнозируемому на основании аксиомы (свойства) результату. Процедура же определения, а не применения знания о свойстве (аксиома), есть процедура описания его действия. Поэтому в данном случае ни о какой подобной процедуре речи не идет, и потому мы просто имеем логический парадокс, связанный с отрицанием в суждении действия, которое составляет цель произнесения данного суждения.

Иными словами, парадокс этот связан именно с неправильным использованием утверждения через его самоотрицание без привлечения дополнительных параметров. То есть, мы имеем дело с самоотрицательным суждением, которое естественно внутренне противоречит своему содержанию, так как само действие, производимое говорящим, противоречит содержанию его утверждения, например: я – лжец. Ведь, например, если бы мы сказали: я – не лжец, то парадокса и не возникло бы. Именно по этой причине трудно согласится с выводами И.З. Цехмистро, который считает этот парадокс философски содержательным, а не результатом логической ошибки.

Два же первых парадокса как раз и есть следствие предположения об отсутствие связи между понятием свойства и понятием структуры. Однако чисто теоретическая задача: введение неструктурного множества с неструктурными свойствами, приводит к необходимости введения рядов алефа, то есть бесконечных и вечных в своем континууме уровней, которые по определению не должны взаимодействовать, так как это ведет к парадоксам невозможности построения такой множественной схемы мира, которая бы объясняла его существование, без привлечения не входящих в это множество сущностей. Иными словами схема с неструктурными, не взаимнодополнительными свойствами не соответствует действительности, а ей лучше соответствует уровневая схема, отличие которой от концепции ЦЕЛОГО Цехмистро, заключается в проведении границы действия между уровнями, что придает смысл их существованию и объясняет причины структурной организации мира.

Целостность мира, или бытие его в качестве неделимого единого, есть лишь подобие ответа. Поскольку един не уровень, едино конкретное значение действия на уровне, как основа его наблюдаемости, то весь мир единым быть не может, так как не будет иметь в себе структурных (свойственных) оснований для своего бытия. А тогда придется искать их вне мира. А это к науке отношения не имеет.

Хотелось бы добавить несколько слов к эпистемологической составляющей данных парадоксов, да и к объяснению сути формулирования философского (в данном случае) определения. Именно мысленный эксперимент с множествами и множествами их множеств, и является способом проверки определения, который в данных примерах (мир как неделимая единица) приводит к противоречиям. Поэтому путем от обратного мы приходим к выводу, что мир не может быть описан иначе как множество, и без одновременного обоснования факта наличия структурных свойств как признака этой множественности. Это приводит нас к выводу о невозможности мира быть единым и не содержать взаимно дополнительных множеств. Именно такое свойство и отражено в понятии уровневости, а данные парадоксы можно рассматривать как логическое доказательство его истинности от противного.

Эпистемологически как раз и не верно определять свойства и следствия через другие свойства и следствия. Каждое из них уникально и фиксирует ту сторону структуры реальности, которая отлична от других ее сторон. Поэтому определением понятия может быть только описание его действия. Именно это описание и может быть рассмотрено как философская формула (следствие), которая может быть проверена на опыте, и на практике. То, что мир представляет собой именно мир, который имеет свойство структурируемой среды, как раз и доказывает его свойство основанности. Любые объекты, выделяемые в этой среде, обладают счетным и различимым количеством свойств, что позволяет им являться данными объектами, чего уж точно не могло быть, если бы мир представлял бы собой только некое неразложимое на множества единство. Это принципиально противоречит самому принципу формирования систем исчисления, то есть структурных систем, то есть систем со свойствами.

назад в начало вперед